\documentclass{ctexart}
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\newcommand*{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\usepackage{cleveref}
\crefname{equation}{式}{方程}
\newcommand{\crefpairconjunction}{~与~}
\newcommand{\crefmiddleconjunction}{、}
\newcommand{\creflastconjunction}{~和~}
\newcommand{\crefpairgroupconjunction}{~和~}
\newcommand{\crefmiddlegroupconjunction}{、}
\newcommand{\creflastgroupconjunction}{~以及~}
\newcommand{\crefrangeconjunction}{～}
% \ctexset{section/format+={\raggedright}}
\title{有关数学公式的应用}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\section{数学模式与文本模式的区别}
文本模式：difficult \textit{difficult} 

数学模式：$difficult$ $\mathrm{difficult}$ $\text{difficult}$ $\mathit{difficult}$ $\text{\itshape difficult}$

\section{根式与分式}
\subsection{分式}
行内公式: $\frac12$，$\tfrac12$，$\dfrac12$，$1/2$， 2\sfrac{1}{2}

行间公式：
\[\frac{1}{2} + \tfrac12 + \dfrac{1}{2} \]

\section{上下标}
同时具有上下标时顺序无所谓：$a_i^2$ $a^2_i$ $a_{n^2}$ $a^{2^3}\quad\text{VS.}\quad (a^2)^3$ 

单独使用一个上下标也没有问题：比如 Al$^{3+}$，或者 SO$_4^{2-}$

化学分子式：\ce{H2SO4}，\ce{Ba(NO3)2}，\ce{Al^{3+}}，\ce{SO4^{2-}}

化学方程式：
\[
   \ce{2KClO3 ->[MnO2][\triangle] 2KCl + 3O2 ^ } 
\]
\[
   \ce{NaCl + AgNO3 -> NaNO3 + AgCl v } 
\]


对巨算符上下标在行内公式和行间公式的差别：

\section{多行公式}
\verb|multline| 环境 
\begin{multline}\label{eq:Mindlin}
  K_{\text{H}i} = \frac{8\uppi E_i }{3}
  \left\{ 
    \sinh^{-1} \frac{h_i - z_i}{B} 
  + \sinh^{-1} \frac{h_i + z_i}{B} 
  + \frac{2}{3B^2}\Biggl[ 
      \frac{B^2h_i - 2B^2z_i+ h_iz_i^2 +z_i^3}%
      {\left[B^2+(h_i+z_i)^2\right]^{1/2}}
  \right.\\
  -\frac{z_i^3 -2B^2z_i}{\left(B^2+ z_i^2\right)^{1/2}}\Biggr]
  -\frac{2}{3}\left[
    \frac{z_i - h_i}{\left[ B^2+(h_i - z_i)^2 \right]^{1/2}}
    -\frac{z_i}{\left(B^2+ z_i^2\right)^{1/2}}
  \right]\\ 
  \left.
  +\frac{4}{3}\left[
    \frac{B^2z_i + h_iz_i^2 + z_i^3}{\left[B^2+(h_i - z_i)^2\right]^{3/2}} 
    - \frac{B^2z_i + z_i^3}{\left(B^2+ z_i^2\right)^{3/2}}\right]
  \right\}^{-1} 
\end{multline}

\verb|gather| 环境

\begin{gather}
  \label{eq:equation} ax^2+bx+c  = 0\\
  \label{eq:root} x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 
\end{gather}

\begin{equation}
  \label{eq:equation-and-root}\left.
  \begin{gathered}
     ax^2+bx+c  = 0\\
     x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 
  \end{gathered}\right\}
\end{equation}

\cref{eq:root} 是 \cref{eq:equation} 的根，\cref{eq:equation-and-root} 是一元二次方程及求根公式。

\verb|align| 环境

\begin{align}
  \label{eq:equation1} ax^2+bx+c & = 0\\
  \label{eq:root1} x& = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 
\end{align}

\begin{equation}
  \label{eq:abs}
  f(x)=|x|= \left\{
    \begin{aligned}
      x,\quad & x > 0 \\
      0,\quad & x = 0 \\
      -x,\quad& x < 0
    \end{aligned}
  \right.
\end{equation}

\begin{equation}
  \label{eq:abs2}
  f(x)=|x|= 
    \begin{cases}
      x,& x > 0 \\
      0,& x = 0 \\
      -x,& x < 0
    \end{cases}
\end{equation}


\section{编组公式}
\begin{subequations}
我们可以截取一垂直于梁挠曲轴线的微段，而不用侧面垂直于 $x$ 轴的微段$\dif x$。由于梁的斜率是小量，垂直于微段侧面的力可取为等于轴向压力 $P$。对于这情形，剪力 $N$ 与微段的剪力 $V$ 之间由表达式
\begin{equation}
  N = V + P\frac{\dif y}{\dif x}  
\end{equation}
相联系，于是得到
\begin{equation}\label{eq:q}
  q = -\frac{\dif N}{\dif x} + P\frac{\dif^2 y}{\dif x^2}
\end{equation}
和
\begin{equation}\label{eq:N}
  N = \frac{\dif M}{\dif x}
\end{equation}
\end{subequations}
\cref{eq:q,eq:N} 亦可由微段的平衡获得。

\end{document}